Calculs
a/ Comprendre le phénomène :
On se propose maintenant de calculer l'angle de la Terre en fonction de l'ombre observée sur la Lune. Pour cela, on utilisera le modèle déjà évoqué dans précédemment. Les calculs sont très similaires pour l'ombre et la pénombre et on ne développera ici que le calcul de l'ombre de la Terre en ne donnant pour la pénombre que les résultats obtenus de manière similaire et un schéma explicatif.
Dans tous ces calculs, on posera :
S pour le centre du Soleil
T pour le centre de la Terre
Rs pour le rayon du Soleil
Rt pour le rayon réel de la Terre (utilisé dans les calculs, de manière indirecte)
Rt' pour le rayon de la Terre en biais (par la substitution déjà vue) = Rt×sin(x)
x pour l'angle formé par la Terre et les rayons du Soleil
Rl pour le rayon de la Lune (utilisé surtout pour définir TL')
L pour le centre de la Lune
L' pour le point de la surface lunaire aligné avec S et T
(ainsi, on a TL' = TL-Rl = la distance entre le centre de la Terre et la surface lunaire)
Toutes nos mesures d'angles seront exprimées en degré décimaux
Nous prendrons aussi comme approximation que les ombres et pénombres ne sont pas les tangentes au Soleil et à la Terre, mais des droites qui passent par les « extrémités » du Soleil (vu de la Terre) en étant tangente à la Terre.
Dans le calcul de l'ombre, on posera plus spécifiquement :
O pour le point marquant la fin du cône d'ombre,
Rl' pour le rayon apparent de l'ombre sur la Lune
On a ainsi une configuration de ce type :
On a S, T , L' et O alignés, (Rs), (Rt) et (Rl') parallèles (car perpendiculaires à (SO) ) et les extrémités « supérieures » de Rs, de Rt et de Rl' sont alignées avec O.
D'après le théorème de Thalès, on a ainsi :
Rl'/Rs = L'O/SO = (SO–SL')/SO = SO/SO–SL'/SO= 1-SL'/SO
Rl'/Rs-1 = -SL'/SO
-SO/SL' = 1/( Rl'/Rs-1)
SO = -SL'/(Rl'/Rs-1)
Connaissant les valeurs de SL' (SL' = ST + TL – Rl) et de Rs, on a ainsi SO en fonction de Rl'.
Par le théorème de Thalès, on a aussi :
Rt'/Rs = TO / SO
Rt' / Rs = (SO-ST) / SO
Rt' / Rs = 1-ST / SO
Rt' = (1-ST/SO) × Rs
Connaissant ST et RS, on a Rt' en fonction de SO, et donc Rt' en fonction de Rl' par la formule suivante :
Rt' = [1 - ST / ( -SL'/(Rl'/Rs-1) ) ] × Rs
Calcul de la pénombre :
Dans le calcul de la pénombre, on posera plus spécifiquement :
O pour le point marquant le sommet du cône de pénombre.
Rl' pour apparent de la pénombre sur la Lune
Avec la même méthode que précédemment (par le Théorème de Thalès à deux reprises), on trouve le résultat suivant :
Rt' = [ ST / ( SL' / (Rl' / Rs + 1) ) ] × Rs
A l'aide de ces calculs, on peut maintenant définir l'angle de la Terre en fonction de la taille du rayon apparent de l'ombre (ou pénombre) lunaire. Ceci étant, ces longs calculs n'expliquent pas pourquoi notre expérience présentait des cas où le rayon de l'ombre et de la pénombre de la Terre était inférieur à celui de la Lune.
On cherche donc ici à comprendre dans quelles conditions l'ombre de la Terre sur la Lune est inférieure au rayon apparent lunaire, comme nous l'avons observé sur le montage.
Ainsi, on cherche (pour l'ombre) :
S : 0 < Rl' < Rl (un rayon d'ombre ne peut pas être négatif)
Rt' = [1 - ST / ( -SL'/(Rl'/Rs-1) ) ] × Rs
S<=> 0 < Rl' < 1737 km
Rt' = [1 - ST / ( -SL'/( [Rl' – Rs ] /Rs) ) ] × Rs soit celle ligne l'équation L2 alors :
L2 <=> Rt' = [1 - ST / ( -SL' × Rs / [ Rl' – Rs ] ) ] × Rs
L2 <=> Rt' = [1 - ST × [ Rl' – Rs ] / -SL' × Rs ] × Rs
L2 <=> Rt' = Rs - ST × [ Rl' – Rs ] / -SL'
L2 <=> Rt' = Rs + ST × [ Rl' – Rs ] / SL'
L2 <=> Rt' = 69500 – 150 000 000 × [ Rl' – 69500] / -150 382 703
Or, on a comme condition 0 < Rl' < 1737
On obtient donc
S <=> 69500 – 150 000 000 × [ 0 – 69500] / -150 382 703 < Rt'
Rt' < 69500 – 150 000 000 × [ 1737 – 69500] / -150 382 703
S<=> 177 < Rt' < 1909
On peut rappeler que Rt' = sin(x) × Rt, ainsi,
S <=> 177 < sin(x) × Rt < 1909
S <=> 177 / Rt < sin(x) <1909 / Rt
S <=> 177 / 6378 < sin(x) < 1909 / 6378
S <=> 2,77⋅ 10 -2 < sin(x) < 0,299
S <=> x ∈ [1,59 ; 17,42] U [ 162,58 ; 178,41] (en degré décimaux)
Le rayon apparent lunaire est donc inférieure à la taille de la Lune si l'angle de la Terre par rapport au rayon du Soleil est compris dans les intervalles [1,59 ; 17,42] ou [162,58 ; 178,41].
Par la même méthode, on trouvera que la pénombre due à la Terre ne sera inférieur à la taille de la Lune que si l'angle est compris dans les intervalles [0 ; 14,12] ou [165,88 ; 180].
Or, les symétriques de ces angles sont aussi à prendre en compte.
Par symétrie verticale, on obtient ainsi les angles de la « partie inférieure » (en bleu sur le schéma).
Ainsi, si on se trouve sur une Terre plate, les rayons apparents des ombres (ou pénombres) de taille inférieure à celui de la Lune ne sont pas uniquement :
x ∈ [1,59 ; 17,45] U [ 162,55 ; 178,41] U [ 0 ; 14,12] U [ 165,88 ; 180]
soit x ∈ [ 0 ; 17,45] U [ 162,55 ; 180]
mais en fait, au total x ∈ [ 0 ; 17,45] U [ 162,55 ; 194,45] U [342,55 ; 360]
On a ainsi expliqué nos observations sur le montage. Ce résultat prouve également que dans le cas où la Terre est ronde, l'ombre et la pénombre ne peuvent en aucun cas être inférieur à la taille de la Lune : dans le cas d'une Terre ronde, le sinus de l'angle est égal à 1 et l'angle est égal à 90°. Cet angle n'appartient pas à l'ensemble défini précédemment.
b/ Fréquence de ces éclipses si particulières
On a ainsi prouvé que les éclipses montrant une ombre ou pénombre inférieure à la surface lunaire étaient caractéristiques d'une Terre plate. Nous appellerons par la suite ces éclipses « éclipses particulières ». Nous allons chercher, dans le cas d'une Terre plate, la fréquence de ces éclipses particulières.
Les schémas suivants permettent de mieux se représenter les ombres (noir) et pénombres (rougeâtre) visibles sur la Lune (gris) dans le cas des éclipses totales et partielles d'une Terre plate, dans le cas d'une éclipse particulière. Ces représentations ne sont ni des preuves ni des représentations à l'échelle.
Ainsi, ces éclipses sont visibles aussi bien quand l'éclipse est totale que quand elle est partielle (le cas des éclipses pénombrales ne sera pas étudié car trop peu observable)
On cherchera d'abord la fréquence annuelle des éclipses particulières (en sachant qu'il y a en moyenne 2 éclipses de Lune par an). Cette fréquence vaut :
( [ (17,15 – 0) + (194,45 – 162,55 ) + (360 – 345,55) ] / 360 ) ×2 = 0,38
soit environ 2 éclipses particulières tous les de 5 ans en moyenne.
Seules 35% des éclipses sont totales et 30% sont partielles (et 35% sont pénombrales). On cherche donc la fréquence des éclipses particulières partielles ou totales.
Cette fréquence vaut : 0,38 × 30 / 100 + 0,38 × 35 / 100 = 0,247
soit près d'une éclipse particulière tous les 4 ans en moyenne.
Seule une éclipse sur 3 est visible en Europe. On cherche la fréquence des éclipses particulières partielles ou totales visibles en Europe.
Cette fréquence vaut : 0,27 / 3 = 0,082
soit près d'une éclipse particulière tous les 12 ans en moyenne.
Si la Terre était plate, un observateur pourrait voir tous les 12 ans en moyenne « une éclipse particulière ». Or ce n'est pas le cas, on ne voit pas ce type d'éclipse dans la réalité. C'est donc une preuve que la Terre n'est pas plate.